111 lines
3.8 KiB
Python
111 lines
3.8 KiB
Python
|
||
import math
|
||
|
||
# ====================== 1.2 导数相关 ======================
|
||
print("="*50)
|
||
print("1.2 导数——变化的度量")
|
||
print("="*50)
|
||
|
||
# ---------------------- 1.2.1 导数定义（数值求导） ----------------------
|
||
def numerical_derivative(f, x, h=1e-5):
|
||
"""
|
||
根据导数定义实现数值求导：
|
||
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
|
||
"""
|
||
return (f(x + h) - f(x)) / h
|
||
|
||
# 测试常见函数的导数（和1.2.2对应）
|
||
print("\n--- 1.2.1 & 1.2.2 常见函数的导数测试 ---")
|
||
x = 2 # 测试点
|
||
|
||
# 1. 常数函数 f(x) = 5
|
||
def const_func(x):
|
||
return 5
|
||
print(f"常数函数 f(x)=5 在x={x}处的导数：{numerical_derivative(const_func, x):.4f} （理论值：0）")
|
||
|
||
# 2. 幂函数 f(x)=x²
|
||
def square_func(x):
|
||
return x**2
|
||
print(f"幂函数 f(x)=x² 在x={x}处的导数：{numerical_derivative(square_func, x):.4f} （理论值：{2*x}）")
|
||
|
||
# 3. 幂函数 f(x)=x³
|
||
def cube_func(x):
|
||
return x**3
|
||
print(f"幂函数 f(x)=x³ 在x={x}处的导数：{numerical_derivative(cube_func, x):.4f} （理论值：{3*x**2}）")
|
||
|
||
# 4. 指数函数 f(x)=e^x
|
||
def exp_func(x):
|
||
return math.exp(x)
|
||
print(f"指数函数 f(x)=e^x 在x={x}处的导数：{numerical_derivative(exp_func, x):.4f} （理论值：{math.exp(x):.4f}）")
|
||
|
||
# 5. 对数函数 f(x)=ln(x)
|
||
def log_func(x):
|
||
return math.log(x)
|
||
print(f"对数函数 f(x)=ln(x) 在x={x}处的导数：{numerical_derivative(log_func, x):.4f} （理论值：{1/x}）")
|
||
|
||
# 6. 三角函数 f(x)=sin(x)
|
||
def sin_func(x):
|
||
return math.sin(x)
|
||
print(f"三角函数 f(x)=sin(x) 在x={x}处的导数：{numerical_derivative(sin_func, x):.4f} （理论值：{math.cos(x):.4f}）")
|
||
|
||
# 7. 三角函数 f(x)=cos(x)
|
||
def cos_func(x):
|
||
return math.cos(x)
|
||
print(f"三角函数 f(x)=cos(x) 在x={x}处的导数：{numerical_derivative(cos_func, x):.4f} （理论值：{-math.sin(x):.4f}）")
|
||
|
||
|
||
# ---------------------- 1.2.4 链式法则示例 ----------------------
|
||
print("\n--- 1.2.4 链式法则示例 ---")
|
||
|
||
# 例子1：y = (2x + 1)^3
|
||
def chain_example1(x):
|
||
return (2*x + 1)**3
|
||
|
||
def chain_example1_derivative(x):
|
||
# 手动用链式法则计算的导数：dy/dx = 3*(2x+1)^2 * 2 = 6*(2x+1)^2
|
||
return 6 * (2*x + 1)**2
|
||
|
||
x1 = 1
|
||
print(f"例子1：y=(2x+1)^3 在x={x1}处的导数")
|
||
print(f"数值求导结果：{numerical_derivative(chain_example1, x1):.4f}")
|
||
print(f"链式法则手动计算结果：{chain_example1_derivative(x1):.4f}")
|
||
|
||
# 例子2：y = e^(3x)
|
||
def chain_example2(x):
|
||
return math.exp(3*x)
|
||
|
||
def chain_example2_derivative(x):
|
||
# 手动用链式法则计算的导数：dy/dx = e^(3x) * 3 = 3*e^(3x)
|
||
return 3 * math.exp(3*x)
|
||
|
||
x2 = 0.5
|
||
print(f"\n例子2：y=e^(3x) 在x={x2}处的导数")
|
||
print(f"数值求导结果：{numerical_derivative(chain_example2, x2):.4f}")
|
||
print(f"链式法则手动计算结果：{chain_example2_derivative(x2):.4f}")
|
||
|
||
|
||
# ---------------------- 1.2.5 偏导数示例 ----------------------
|
||
print("\n--- 1.2.5 偏导数示例 ---")
|
||
|
||
def func_z(x, y):
|
||
# z = f(x,y) = x² + 3xy + y²
|
||
return x**2 + 3*x*y + y**2
|
||
|
||
def partial_derivative_x(x, y, h=1e-5):
|
||
# 对x的偏导数（把y看作常数）
|
||
return (func_z(x + h, y) - func_z(x, y)) / h
|
||
|
||
def partial_derivative_y(x, y, h=1e-5):
|
||
# 对y的偏导数（把x看作常数）
|
||
return (func_z(x, y + h) - func_z(x, y)) / h
|
||
|
||
# 测试点 (1, 2)
|
||
x_p, y_p = 1, 2
|
||
print(f"函数 z = x² + 3xy + y² 在点({x_p}, {y_p})处的偏导数：")
|
||
print(f"对x的偏导数值：{partial_derivative_x(x_p, y_p):.4f} （理论值：{2*x_p + 3*y_p}）")
|
||
print(f"对y的偏导数值：{partial_derivative_y(x_p, y_p):.4f} （理论值：{3*x_p + 2*y_p}）")
|
||
|
||
|
||
print("\n" + "="*50)
|
||
print("所有导数相关示例运行完毕！")
|
||
print("="*50) |